Cours de Mathématiques

Apprendre les maths

 

 

La géométrie

Traditionnellement, la géométrie est la partie des mathématiques qui étudie les figures du plan et de l'espace (géométrie euclidienne).

Depuis la fin du XVIIIe siècle, la géométrie étudie également les figures appartenant à d'autres types d'espaces (géométrie projective, géométrie non euclidienne, par exemple).

Enfin, depuis le début du XXe siècle, certaines méthodes d'étude de figures de ces espaces se sont transformées en branches autonomes des mathématiques : topologie, géométrie différentielle, et géométrie algébrique, par exemple.

Si on veut englober toutes ces acceptions, il est difficile de définir ce qu'est, aujourd'hui, la géométrie. C'est que l'unité des diverses branches de la "géométrie contemporaine" (si tant est qu'un tel concept existe) réside plus dans des origines historiques que dans une quelconque communauté de méthodes ou d'objets.

GéométrieLe terme géométrie dérive du grec de γεωμέτρης (geômetrês) qui signifie « géomètre, arpenteur » et vient de γῆ (gê) (« terre ») et μέτρον (métron) « mesure »). Ce serait donc « la science de la mesure du terrain ».

La géométrie classique

Sans qualificatif particulier et sans référence à un contexte particulier (par opposition à la géométrie différentielle ou la géométrie algébrique), la géométrie ou encore géométrie classique englobe principalement :

  • La géométrie euclidienne, qui est l'étude de l'espace usuel avec les notions de distance et d'angle ;
  • La géométrie affine, qui est l'étude des points et des droites, mais sans les notions de distance et d'angle ;
  • La géométrie projective, qui ajoute aux espaces de la géométrie affine des points à l'infini ;
  • La géométrie non euclidienne, qui est une variante de la géométrie euclidienne et n'en diffère que par la modification de l'énoncé du cinquième postulat d'Euclide. Cette géométrie est contraire à l'intuition usuelle. Elle comprend la géométrie hyperbolique, la géométrie elliptique et la géométrie sphérique.

Les géométries ci-dessus peuvent être généralisées en faisant varier la dimension des espaces, en changeant le corps des scalaires (utiliser des droites différentes de la droite réelle) ou en donnant une courbure à l'espace. Ces géométries sont encore dites classiques.

Par ailleurs, la géométrie classique peut être axiomatisée ou étudiée de différentes façons.

  • La géométrie d'incidence et la géométrie synthétique (ou géométrie pure), qui utilisent une approche axiomatique ayant généralement comme données premières les points, les droites, les plans, ainsi que les relations qui les gouvernent et les grandeurs qui leur sont associées.
  • La géométrie analytique, qui utilise les coordonnées et qui associe à chaque point des triplets (ou une suite de longueur donnée) d'éléments d'un corps.
  • L'algèbre linéaire, qui généralise la géométrie analytique en remplaçant l'utilisation des coordonnées par celle des espaces vectoriels abstraits.
  • La géométrie des groupes, qui étudie les action de groupe et leurs invariants. C'est là le programme d'Erlangen de Felix Klein. On s'intéresse particulièrement aux groupes (abstraits, algébriques ou de Lie) classiques, c'est-à-dire aux groupes liés aux groupes linéaires, orthogonaux, unitaires ou symplectiques, et a leurs espaces homogènes classiques (espaces symétriques, variétés de drapeaux généralisées, par exemples). La théorie des invariants est intimement liés à cet aspect de la géométrie: elle permet d'associer à des configuations des quantités (birapports, distances, angles, etc.) qui permettent de classer les orbites. On peut aussi étendre cette approche à la géométrie des groupes exceptionnels (algébriques ou de Lie).
  • La théorie des immeubles de Tits, qui est liée à la géométrie des groupes classiques et exceptionnels (algébriques ou non), et qui étudie des structures combinatoires liés aux diagrammes de Coxeter. Par exemple, l'ensemble de toutes les chaînes de sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel de dimension finie sur un corps est un immeuble, et l'ensemble de toutes les chaînes de sous-espaces projectifs d'un espace projectif P de dimension finie sur corps commutatif qui sont inclus dans une même quadrique projective de P est un immeuble.

Il est remarquable que l'algèbre linéaire (espaces vectoriels, formes quadratiques, formes bilinéaires alternées, formes hermitiennes et antihermitienne, etc.) permette de construire des modèles explicites de la plupart des structures rencontrées dans ces géométries. Cela confère donc à la géométrie classique une certaine unité.

Les autres types de géométrie

Il y a des branches des mathématiques qui sont issues de l'étude des figures des espaces euclidiens, mais qui se sont constituées en branches autonomes des mathématiques et qui étudient des espaces qui ne sont pas nécessairement plongés dans des espaces euclidiens :

  • la topologie ;
  • la géométrie différentielle, qui utilise l'analyse, la topologie et l'algèbre linéaire, et qui étudie des espaces qui, localement, sont des espaces euclidiens, et sur lesquels on peut faire du calcul différentiel et du calcul intégral. La géométrie différentielle englobe la géométrie riemannienne et la géométrie symplectique;
  • la géométrie algébrique, qui utilise l'algèbre abstraite et la topologie et qui étudie des espaces qui, localement, sont des ensembles de points définis par des équations algébriques, tels les sous-espace affines, les coniques et les quadriques ;
  • la géométrie non commutative.

Les différents espaces de la géométrie classique peuvent être étudiés par la topologie, la géométrie différentielle et la géométrie algébrique.

Vous en savez plus sur la géométrie, apprenez la en cours de mathématiques.